UC知道求三角极值[请按照我的思路做]
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 17:14:43
题目是求三角形ABC中cotA+cotB+cotC的极小值。
我是这样做的，
先证一个弱命题：
对于三角形中的两角A与B，A+B=p时(p为某一个特定的值)，当且仅当A=B时,cotA+cotB有最小值。 （*）
证明如下：
cotA+cotB
=cosA/sinA+cosB/sinB
=sin(A+B)/(sinAsinB)
=sinp/(sinAsinB)
对A,B进行对半假设
令A=p/2+x
B=p/2-x
则cotA+cotB的分母
=sinAsinB
=sin(p/2+x)sin(p/2-x)
=sin^2(p/2)cos^2(x)-cos^2(p/2)sin^2(x)
=sin^2(p/2)(1-sin^2(x))-cos^2(p/2)sin^2(x)
=sin^2(p/2)-sin^2(x)
当x=kpai时（在三角形中k取0,即A=B），分母有最大值，cotA+cotB有最小值。
证毕。
我想有这个弱命题（*）证原命题，
怎么办？注意一定要严谨！
注意:请按照我的方法做
我是这样做的，
先证一个弱命题：
对于三角形中的两角A与B，A+B=p时(p为某一个特定的值)，当且仅当A=B时,cotA+cotB有最小值。 （*）
证明如下：
cotA+cotB
=cosA/sinA+cosB/sinB
=sin(A+B)/(sinAsinB)
=sinp/(sinAsinB)
对A,B进行对半假设
令A=p/2+x
B=p/2-x
则cotA+cotB的分母
=sinAsinB
=sin(p/2+x)sin(p/2-x)
=sin^2(p/2)cos^2(x)-cos^2(p/2)sin^2(x)
=sin^2(p/2)(1-sin^2(x))-cos^2(p/2)sin^2(x)
=sin^2(p/2)-sin^2(x)
当x=kpai时（在三角形中k取0,即A=B），分母有最大值，cotA+cotB有最小值。
证毕。
我想有这个弱命题（*）证原命题，
怎么办？注意一定要严谨！
注意:请按照我的方法做
给一个技巧性的证明，希望满意，cotA+cotB+cotC+cot[(A+B+c)/3],令 A+B=p时，即先使c不变有，原式》=2cot（p/2)+2cot[120-p/2],因为c和最后的角相加也是定值，对后两项也利用若命题，注意到p/2与120-p/2和也是定值，再次利用若命题得到原式》=4cot60,你给出的式子大于等于4cot60-cot[(A+B+c)/3]=根号3，
把cotC拆成cot(180-A-B),最后拆成有关A和B的.很麻烦.
为取最小值，设A和B相等，均为a
所以C=180-2a
就是求cot（180-2a）+2cota的极小值
=（cot^2(90-a)-1）/2cot(90-a)+2cota
=(tan^2a-1)/2tana+2cota
=tana/2-cota/2+2cota
=(tana+3cota)/2
就是求x+3/x的极小值。
根据均值不等式
x+3/x>=2sqrt(3)
所以原式的极小值是sqrt(3)